Abstraccion matematica

geometría

La geometría tiene nociones abstractas que hay que aprender, por lo que todas esas nociones no se pueden transferir a la mente de los alumnos como un montón de información que hay que memorizar. Los alumnos tienen que construir esos conceptos durante su proceso de aprendizaje. Este proceso de construcción del conocimiento puede considerarse un proceso de abstracción. El objetivo de este estudio es comparar cualitativamente el proceso de abstracción de los alumnos que aprendieron el tema del triángulo con el método convencional y con el modelo de enseñanza de Van Hiele, con la ayuda del bloc de dibujo de Geometría. Los sujetos de este estudio fueron estudiantes de séptimo curso de secundaria. Se trata de un estudio cualitativo con diseño de teoría fundamentada. Los datos se recogieron a través de la observación en el aula, el test y la entrevista basada en tareas. Los resultados del estudio muestran que los procesos de abstracción teórica tienden a dominar la clase con el método convencional de enseñanza, mientras que la clase con el modelo de enseñanza de van Hiele, ayudado por el bloc de dibujo de Geometría, acomodó el proceso de abstracción empírica de los estudiantes.

Battista, M. T. (2007). El desarrollo del pensamiento geométrico y espacial. En F. K. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 843-908). Charlotte, NC: Information Age.

¿las matemáticas son abstractas o concretas?

La abstracción en matemáticas, o la abstracción mental, es un componente importante de la actividad mental dirigida a la formulación de conceptos matemáticos básicos. Las abstracciones más típicas en matemáticas son las abstracciones “puras”, las idealizaciones y sus diversas superposiciones de varios niveles (véase [5]).

El acto mental de abstracción “pura” consiste en que, en una determinada situación considerada, la atención se fija sólo en ciertas características (esenciales) de los objetos considerados y en las interrelaciones entre ellos, con la exclusión de otras propiedades y relaciones que se consideran irrelevantes. El resultado de tal acto de abstracción, concretado en un lenguaje apropiado, empieza a desempeñar el papel de un concepto general. Un ejemplo típico de este tipo de abstracción matemática es la abstracción por identificación.

El acto mental de idealización significa que, en una determinada situación considerada, la imaginación genera un determinado concepto que se convierte en el objeto considerado por la conciencia. Las propiedades que la imaginación confiere al concepto no son sólo las que poseen realmente los objetos iniciales como resultado del acto de abstracción “pura”, sino también otras propiedades imaginadas que reflejan las propiedades originales de los objetos iniciales de forma modificada, o incluso propiedades totalmente ausentes en la realidad. Una de las idealizaciones matemáticas más tradicionales es la abstracción del infinito real, que conduce a la idea de un infinito real. Esta abstracción es la base del desarrollo teórico de las matemáticas. Otra idealización tradicional -la abstracción de la realizabilidad potencial- conduce a la idea de un infinito potencial. Esta abstracción, junto con el rechazo a utilizar la abstracción del infinito real, constituye la base de los fundamentos constructivos de las matemáticas.

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La abstracción matemática es el proceso de considerar y manipular operaciones, reglas, métodos y conceptos despojados de su referencia a los fenómenos y circunstancias del mundo real, y también despojados del contenido relacionado con las aplicaciones particulares. No existe una única forma de realizar la abstracción matemática. El término “abstracción” no nombra un procedimiento único, sino un proceso general, que va por muchos caminos que en su mayoría son simultáneos y están entrelazados; en particular, el proceso no equivale sólo a la subsunción lógica. Consideraré comparativamente cómo los filósofos consideran la abstracción y cómo los matemáticos la llevan a cabo, con el objetivo de sacar a la luz los procesos de pensamiento fundamentales que están en juego, e ilustrar con ejemplos significativos lo intrincada y multinivel que puede ser la combinación de técnicas matemáticas típicas que incluyen el método axiomático, los principios de invariancia, las relaciones de equivalencia y las correspondencias funcionales.

Agradezco cordialmente a los revisores sus útiles comentarios a la versión anterior de este trabajo. Estoy en deuda con ellos por muchas mejoras. También doy las gracias a Jean-Pierre Marquis por las discusiones mantenidas durante su visita a la Universidad París-Diderot en 2012.

introducción a las matemáticas abstractas

Las matemáticas toman cosas concretas y las convierten en abstracciones que ayudan a generalizar las ideas. Tomemos un ejemplo sencillo con los números. ¿La cantidad es la propiedad de una cosa? Podemos tener dos coches o dos zapatos, pero siguen siendo dos. También podemos tener un coche o dos coches, pero seguimos hablando de un “coche”.

Piénsalo un momento. ¿Puedes definir la idea de número? No existe algo tangible como el uno. Existe “un dólar”, pero no existe el uno. Hay un símbolo para el uno, pero tampoco hay un “uno” tangible.

Si intentamos definir los números, probablemente nos encontremos con definiciones que empiezan enumerando 1, 2, 3, etc. o también podemos ver que uno más uno es dos. Hay algo inherente a esta propiedad.

Esta condición aparentemente imperceptible de abstracción es la cualidad que define a las matemáticas. En geometría consideramos formas cerradas con tres lados y las llamamos triángulos. Puedes ver un triángulo, pero nunca verás la idea tangible de triángulo. Sólo se ve una representación del mismo.